Целью данного спецкурса является ознакомление магистрантов специальности «Математика» с проблемами аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и ее приложениями, а также выработка навыков отыскания решений рассматриваемых классов дифференциальных уравнений с помощью аналитических или численных методов, в том числе и с использованием системы компьютерной математики Mathematica 9.0.

Задачи аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений:

– исследование уравнений и систем, решения которых имеют особенности определенного типа, и, в первую очередь, подвижные особые точки с достаточно простой топологией;

– усвоение методов описания эволюционных процессов с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений;

– усовершенствование навыков самостоятельной работы с научной литературой.

Планируется рассмотреть следующие задачи: задачу о нахождении уравнений  P-типа среди дифференциальных уравнений первого-третьего порядков; задачу об отыскании линейных дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядков с произвольными аналитическими коэффициентами, которые интегрируются в квадратурах в замкнутой форме; задачу об интегрируемости уравнений Абеля; задачу об отыскании у нормальных систем третьего порядка с мероморфными относительно искомых функций правыми частями решений, обладающих бесконечными предельными свойствами. Неослабевающий интерес к рассматриваемым дифференциальным уравнениям заключается в их широком применении в приложениях (как в математике, так и в естествознании), а также в том, что интегрирование этих уравнений представляет существенные трудности.

По результатам спецкурса магистрант должен знать:

– классификацию особых точек функций комплексных переменных;

– уравнения первого и второго порядков Р-типа и свойства их решений;

– основные понятия и формулировать основные теоремы аналитической теории дифференциальных уравнений, связанные с методом Пенлеве;

– основные приложения аналитической теории дифференциальных уравнений;

уметь:

– реализовать аналитические или численные методы (с помощью компьютера) для поиска решений рассматриваемых классов дифференциальных уравнений;

– анализировать и интерпретировать полученные результаты.

Спецкурс «Аналитическая теория дифференциальных уравнений» позволяет обобщить и углубить знания студентов по ряду методов общей и аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. «Аналитическая теория дифференциальных уравнений» основывается на курсах: «Математический анализ», «Алгебра», «Теория функций комплексной переменной», «Дифференциальные уравнения».